Нагель Эрнест, Ньюмен Джеймс Рой

Теорема Гёделя

Посвящается Бертрану Расселу

1

Введение

В 1931 г. в одном из немецких научных журналов появилась сравнительно небольшая статья с довольно-таки устрашающим названием «"Uber formal unentscheidbare S"atze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» («О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем»). Автором ее был двадцатипятилетний математик из Венского университета Курт Гёдель, впоследствии работавший в Принстонском институте высших исследований. Работа эта сыграла решающую роль в истории логики и математики. В решении Гарвардского университета о присуждении Гёделю почетной докторской степени (1952) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики.

Однако в момент опубликования ни название гёделевской работы, ни содержание ее ничего не говорили большинству математиков. Упомянутые в ее названии Principia Mathematica — это монументальный трехтомный трактат Алфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, посвященный математической логике и основаниям математики; знакомство с трактатом отнюдь не являлось необходимым условием для успешной работы в большей части разделов математики. Интерес к разбираемым в работе Гёделя вопросам всегда был уделом весьма немногочисленной группы ученых. В то же время рассуждения, приведенные Гёделем в его доказательствах, были для своего времени столь необычными, что для полного их понимания требовалось исключительное владение предметом и знакомство с литературой, посвященной этим весьма специфическим проблемам.

При всем этом подлинно революционный характер выводов, к которым пришел Гёдель, и их важнейшее философское значение ныне общепризнанны. Цель настоящего очерка состоит в том, чтобы сделать доступным для неспециалистов существо результата Гёделя и основную идею его доказательства.

Знаменитая работа Гёделя посвящена центральной проблеме оснований математики. Чтобы понять источник возникновения и характер этой проблемы, нам понадобятся некоторые предварительные рассмотрения. Каждый, кому приходилось преподавать элементарную геометрию, помнит, что геометрия строится как дедуктивная наука. Этим она отличается от экспериментальных наук, выводы которых приемлемы постольку, поскольку они согласуются с данными наблюдения и опыта. Идея о том, что любое верное утверждение может быть получено в качестве заключительного шага строгого логического доказательства, сформировалась еще в Древней Греции; именно греческим математикам принадлежит честь открытия так называемого «аксиоматического метода» и применения его для систематического изложения геометрии. Для аксиоматического метода характерно, что некоторые предложения — так называемые аксиомы или постулаты (примером может служить предложение, согласно которому через любые две точки можно провести одну и только одну прямую) — принимаются без доказательства; все же остальные предложения данной теории выводятся затем из этих аксиом. Можно сказать, что аксиомы образуют «базис» системы, в то время как теоремы, получаемые из аксиом при помощи одних только логических законов, — это «надстройка».

Аксиоматическое построение геометрии произвело глубокое впечатление на мыслителей всех времен — ведь совсем небольшого числа аксиом оказалось достаточным, чтобы из них можно было вывести поистине необозримое количество предложений. Более того, если каким-либо образом можно было удостовериться в истинности аксиом, а фактически на протяжении почти двух тысячелетий большинство ученых считало истинность аксиом само собой разумеющейся, то это уже автоматически обеспечивало истинность всех теорем и их совместимость. Поэтому аксиоматическое изложение геометрии в глазах многих поколений ученых представлялось своего рода идеальным образцом научного знания. И вполне естественно было задать вопрос, можно ли другие научные дисциплины, кроме геометрии, построить на такой же строгой аксиоматической основе. Тем не менее, хотя некоторые разделы физики формулировались аксиоматически еще в античные времена (например, Архимедом), до недавнего времени геометрия в глазах большинства ученых представлялась, по сути дела, единственной областью математики, построенной на аксиоматической базе.

Однако в течение последних двух столетий аксиоматический метод стал применяться все более широко и интенсивно. И для новых областей математики, и для более традиционных ее разделов, таких, например, как общая арифметика целых чисел, были сформулированы системы аксиом, представляющие эти математические дисциплины в некотором смысле адекватным образом. В результате укоренилось довольно прочное убеждение, что для любой математической дисциплины можно указать перечень аксиом, достаточный для систематического построения всего множества истинных предложений данной науки.

Работа Гёделя показала полную несостоятельность такого убеждения. Она представила математикам поразительный и обескураживающий вывод, согласно которому возможности аксиоматического метода определенным образом ограничены, причем ограничения таковы, что даже обычная арифметика целых чисел не может быть, оказывается, полностью аксиоматизирована. Более того, Гёдель доказал, что для весьма широкого класса дедуктивных теорий (включающего, в частности, элементарную арифметику) нельзя доказать их непротиворечивость, если не воспользоваться в доказательстве столь сильными методами, что их собственная непротиворечивость оказывается в еще большей степени подверженной сомнениям, нежели непротиворечивость самой рассматриваемой теории. В свете сказанного ни о какой окончательной систематизации многих важнейших разделов математики не может быть и речи, и нельзя дать решительно никаких надежных гарантий того, что многие важные области математики полностью свободны от внутренних противоречий.

Таким образом, открытия Гёделя подорвали глубоко укоренившиеся представления и разрушили старые надежды, ожившие было в ходе более новых исследований по основаниям математики. Но работа Гёделя имеет не только отрицательное значение. Она обогатила исследования по основаниям математики совершенно новыми методами рассуждения, сравнимыми по своей природе и по своей плодотворности с алгебраическим методом, привлеченным для решения геометрических задач Рене Декартом. Открытия Гёделя существенно расширили проблематику логических и математических исследований. Кроме всего прочего, работа Гёделя обусловила существенную переоценку перспектив философии математики и философии науки в целом.

Детали доказательств теорем Гёделя из его знаменитой работы слишком трудны для того, чтобы понять их, не имея основательной математической подготовки. Но общую идею этих доказательств и значение следующих из них выводов вполне могут уяснить и читатели, обладающие совсем скромными познаниями в области математики и логики. Для этого читателю понадобятся разве лишь самые элементарные факты и понятия современной математики и формальной логики. Именно краткому знакомству с этим ограниченным запасом фактов и посвящены ближайшие четыре раздела нашего очерка.

2

Проблема непротиворечивости

Для XIX столетия характерна резкая интенсификация и расширение проблематики математических исследований. Были решены многие важные математические проблемы, не поддававшиеся усилиям лучшие мыслителей прошлых времен. Возникли совершенно новые математические дисциплины. В различных областях математики были выдвинуты новые основополагающие принципы, а применение старых принципов стало гораздо более плодотворным благодаря их пересмотру с учетом новой, более совершенной техники математического мышления. Вот простой пример. Еще греческие математики выдвинули три задачи из области элементарной геометрии: разделить на три части произвольный угол при помощи только циркуля и линейки; построить куб, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба; построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади данного круга, Более двух тысяч лет эти задачи не поддавались решению, пока, наконец, в XIX столетии не было строго доказано, что предписываемые в них построения вообще нельзя осуществить. Эти результаты, интересные и сами по себе, вызвали глубокий интерес к изучению природы понятия числа и строения числового континуума (поскольку выяснилось, что для решения упомянутых задач недостаточны числа, являющиеся корнями уравнений, хорошо изученных еще античными математиками). Плодом этих исследований явились строгие определения, на основе которые удалось построить теории отрицательных, комплексных и иррациональных чисел. Была построена на прочной логической основе и общая теория действительных чисел. Возникла совершенно новая ветвь математики — теория бесконечных множеств и так называемых трансфинитных («бесконечных») чисел.